FC01 – Cap 05 – Ex. 70

Enunciado

(ITA) Um móvel A parte da origem O , com velocidade inicial nula, no instante t_0 = 0 e percorre o eixo O_x com aceleração escalar constante a . Após um intervalo de tempo \Delta t , contado a partir da saída de A , um segundo móvel B , parte de O , do repouso, com uma aceleração escalar constante igual a n \cdot a , sendo n > 1 . B alcançará A no instante:

1. t = \left( \dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} - 1} + 1 \right) \Delta t
2. t = \left( \dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} - 1} - 1 \right) \Delta t
3. t = \left( \dfrac{\sqrt{n} - 1}{\sqrt{n}} \right) \Delta t
4. t = \left( \dfrac{\sqrt{n} + 1}{\sqrt{n}} \right) \Delta t
5. t = \left( \dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n} - 1} \right) \Delta t

Entendimento

Questão interessante, que exige boa compreensão por parte dos alunos.

Do ponto de vista físico, o que temos é um móvel A que sai em movimento acelerado de um ponto e, algum tempo depois, sai do mesmo ponto um móvel B , mais acelerado que o primeiro.

É evidente que o móvel B vai alcançar o móvel A em algum tempo. É exatamente o cálculo desse tempo que a questão pede.

O fundamental para o entendimento do problema é saber que são dois MUV e que o móvel B tem \Delta t menos tempo que o móvel A . Isto é, em relação ao instante inicial da partida do móvel A , o móvel B tem \Delta t menos tempo para alcançar o móvel que saiu antes.

Resolução

Para o móvel A , em MUV, teremos seguinte equação de posição:

s_a = s_{0_a} + v_{0_a} t + \frac{1}{2} a t^2 \Rightarrow s_a = \frac{1}{2} a t^2

Para o móvel B , em MUV, teremos seguinte equação de posição:

s_b = s_{0_b} + v_{0_b} t + \frac{1}{2} n \cdot a t^2 \Rightarrow s_b = \frac{1}{2} n \cdot a t^2

Quanto o móvel B encontra o móvel A , teremos s_a = s_b , mas observando-se que o móvel B tem \Delta t menos tempo que o móvel A (isto é, o tempo do móvel B é defasado de \Delta t :

s_a = s_b \\
\frac{1}{2} a t^2 = \frac{1}{2} n \cdot a (t - \Delta t)^2 \\
t^2  = n (t - \Delta t)^2 \\
t = \sqrt{n (t - \Delta t)^2} \\
t = \sqrt{n} (t - \Delta t) \\
t = \sqrt{n} t - \sqrt{n} \Delta t \\
t (1 - \sqrt{n}) = - \sqrt{n} \Delta t \\
t = - \frac{ \sqrt{n} \Delta t}{1 - \sqrt{n}} \\
t = \left( \frac{ \sqrt{n}}{\sqrt{n} - 1} \right) \Delta t

A resposta é alternativa E.