FME02 – Cap 02 – Ex. 102

Enunciado

Calcule o produto das soluções das equações:

\biggl\{
\begin{equation*}
  \begin{matrix}
    2^x \cdot 3^y = 108 \\
    4^x \cdot 2^y = 128
  \end{matrix}
\end{equation*}

Entendimento

Para resolver este tipo de questão, o caminho é fatorar, fatorar o máximo possível e empregar as propriedades da exponenciação.

Esta questão, em particular, tem um erro na sua elaboração, pois podemos resolvê-la usando apenas uma das equações do sistema.

Resolução

Bom, para resolver a questão, vamos começar com a fatoração:

\biggl\{
\begin{equation*}
  \begin{matrix}
    2^x \cdot 3^y = 108 \\
    4^x \cdot 2^y = 128
  \end{matrix}
\end{equation*} \\

\enspace \\

\biggl\{
\begin{equation*}
  \begin{matrix}
    2^x \cdot 3^y = 2^2 \cdot 3^3 \\
    2^{2+x} \cdot 2^y = 2^7
  \end{matrix}
\end{equation*} \\

\enspace \\

\biggl\{
\begin{equation*}
  \begin{matrix}
    2^x \cdot 3^y = 2^2 \cdot 3^3 \\
    2^{2+x+y} = 2^7
  \end{matrix}
\end{equation*}

Observando a primeira equação do sistema, temos que: x = 2 e y = 3 . Portanto xy = 6 .

Assim, para obter a solução, não foi preciso usar a segunda equação, mas se substituírmos os valores de x e y em 2^{2+x+y} = 2^7 , podemos ver que os valores obtidos estão corretos.