FME02 – Cap 02 – Ex. 84

Enunciado

Resolva as seguintes equações exponenciais:

$3^x - \dfrac{15}{3^{x-1}} + 3^{x-3} = \dfrac{23}{3^{x-2}}$
$2^{x+1} + 2^{x-2} - \dfrac{3}{2^{x-1}} = \dfrac{30}{2^x}$
$16^{2x+3} - 16^{2x+1} = 2^{8x+12} - 2^{6x+5}$

Entendimento

Novamente o caminho para solução é buscar simplificar as equações e reduzi-las à forma $base^{expoente_1} = base^{expoente_2}$ . Apesar de ser um processo simples, é preciso ser feito com atenção, pois é possível encontrarmos boas simplificações nos cálculos.

Nesse tipo de exercício nunca é oportuna a abordagem de “boi bravo” e sair apressadamente fazendo contas. Não existe uma única regra, às vezes é melhor fatorar, às vezes é melhor multiplicar, às vezes deixar a multiplicação indicada… Tudo no intuito de se fazer menos contas.

É preciso também muita atenção com sinais e com as propriedades de expoentes, um descuido e a resolução sai errada.

Resolução: item a.

3^x - \dfrac{15}{3^{x-1}} + 3^{x-3} = \dfrac{23}{3^{x-2}} \Rightarrow 3^x - \dfrac{3 \cdot 15}{3^x} + \dfrac{3^x}{27} = \dfrac{9 \cdot 23}{3^x} \\ \enspace \\ \dfrac{27 \cdot 3^x + 3^x}{27} = \dfrac{9 \cdot 23 + 3 \cdot 15}{3^x} \Rightarrow \dfrac{28 \cdot 3^x}{27} = \dfrac{252}{3^x} \\ \enspace \\ \dfrac{3^x}{27} = \dfrac{9}{3^x} \Rightarrow 3^{2x} = 3^5 \Rightarrow x = \frac{5}{2}

Resolução: item b.

2^{x+1} + 2^{x-2} - \dfrac{3}{2^{x-1}} = \dfrac{30}{2^x} \Rightarrow 2 \cdot 2^x + \dfrac{2^x}{4} - \dfrac{3 \cdot 2}{2^x} = \dfrac{30}{2^x} \\ \enspace \\ \frac{4 \cdot 2 \cdot 2^x +2^x}{4} = \dfrac{30 + 3 \cdot 2}{2^x} \Rightarrow 9 \cdot 2^x \cdot 2^x = 4 \cdot 36 \\ \enspace \\ 2^{2x} = 4 \cdot 4 \Rightarrow 2^{2x} = 2^4 \Rightarrow x = 2

Resolução: item c.

16^{2x+3} - 16^{2x+1} = 2^{8x+12} - 2^{6x+5} \\ (2^4)^{2x+3} - (2^4)^{2x+1} = 2^{8x+12} - 2^{6x+5} \\ 2^{8x+12} - 2^{8x+4} = 2^{8x+12} - 2^{6x+5} \Rightarrow 2^{8x+4} = 2^{6x+5} \\ 8x + 4 = 6x + 5 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2}

Dificuldade: 1,75

Entendimento: 1,5
Conceitos: 2,0
Iniciativa: 2,0
Cálculos: 1,5