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Enunciado
Resolva os seguintes sistemas de equações:
- \begin{cases} 4^x = 16y \\ 2^{x+1} = 4y \end{cases} \\ \enspace
- \begin{cases} 2^{2(x^2-y)} = 100 \cdot 5^{2(y-x^2)} \\ x + y = 5 \end{cases} \\ \enspace
- \begin{cases} 2^x - 2^y = 24 \\ x + y = 8 \end{cases} \\ \enspace
- \begin{cases} 3^x - 2^{(y^2)} = 77 \\ 3^{\frac{x}{2}} - 2^{(\frac{y^2}{2})} = 7 \end{cases}
Entendimento
Exercício de sistemas de equações exponenciais. Não são exercícios de aplicação apenas, pois exigem um pouco de iniciativa e manipulação algébrica das equações para simplificar as expressões. Mas, de todas as formas, o que quer obter é uma expressão do tipo base^{expoente_1} = base^{expoente_2} .
Resolução: item a.
A partir do sistema dado:
\begin{cases}
4^x = 16y \\
2^{x+1} = 4y
\end{cases}Tomando a primeira equação do sistema, temos:
4^x = 16y \Rightarrow 2^{2x} = 4\cdot 4yAplicando nesse resultado a segunda equação, temos:
2^{2x} = 4 \cdot 4y \Rightarrow 2^{2x} = 4 \cdot 2^{x+1} \\
2^{2x} = 2^2 \cdot 2^{x+1} \Rightarrow 2^{2x} = 2^{x+3} \\
2x = x + 3 \Rightarrow x = 3Como 4^x = 16y , temos:
4^x = 16y \Rightarrow 4^3 = 4^2 \cdot y \Rightarrow y = 4
Resolução: item b.
A partir do sistema dado:
\begin{cases}
2^{2(x^2-y)} = 100 \cdot 5^{2(y-x^2)} \\
x + y = 5
\end{cases}Tomando a primeira equação do sistema, temos:
2^{2(x^2-y)} = 100 \cdot 5^{2(y-x^2)} \\
2^{2(x^2-y)} = 2^2 \cdot 5^2 \cdot \frac{1}{5^{2(x^2-y)}} \\
2^{2(x^2-y)} \cdot 5^{2(x^2-y)}= 2^2 \cdot 5^2 \\
\Rightarrow 2(x^2 - y) = 2 \Rightarrow x^2 - y =1Substituindo a segunda equação do sistema x + y = 5 \Rightarrow y = 5 - x , temos:
x^2 - y =1 \Rightarrow x^2 - (5 - x) -1 = 0 \\
x^2 + x - 6 = 0 \\
\enspace \\
\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 \\
\enspace \\
x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \\
\enspace \\
x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3A partir de x_1 , de x_2 e da sequnda equação do sistema, obtemos y_1 e y_2 correspondentes:
x_1 + y_1 = 5 \therefore x_1 = 2 \Rightarrow y_1 = 3 \\ x_2 + y_2 = 5 \therefore x_2 = -3 \Rightarrow y_2 = 8
Resolução: item c.
A partir do sistema dado:
\begin{cases}
2^x - 2^y = 24 \\
x + y = 8
\end{cases}Trabalhando a segunda equação, temos que: x + y = 8 \Rightarrow x = 8 - y . Substituindo este valor de x na primeira equação do sistema, obtemos:
2^x - 2^y = 24 \\
2^{8-y} - 2^y = 24 \\
\frac{2^8}{2^x} - 2^y = 24 \\
\frac{2^8 - 2^y \cdot 2^y}{2^y} = 24 \\
-(2^y)^2 - 24 \cdot 2^y + 2^8 =0 \\
\enspace \\
\Delta = (-24)^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 2^8 = 576 + 1024 = 1600 \\
\enspace \\
x_1 = \frac{-(-24) + \sqrt{1600}}{2 \cdot (-1)} = \frac{24 + 40}{-2} = -32 \\
\enspace \\
x_2 = \frac{-(-24) - \sqrt{1600}}{2 \cdot (-1)} = \frac{24 - 40}{-2} = 8Trabalhando, separadamente x_1 e x_2 , temos:
x_1 = 2^x = -32, \nexists x \in \mathbb{R} \mid 2^x = -32 \\
x_2 = 2^x = 8 \therefore x =3 \\
\text{Como } x + y = 8 \Rightarrow y = 8 - 3 = 5 Resolução: item d.
A partir do sistema dado:
\begin{cases}
3^x - 2^{(y^2)} = 77 \\
3^{\frac{x}{2}} - 2^{(\frac{y^2}{2})} = 7
\end{cases}Fazendo a = 3^{\frac{x}{2}} e b = 2^{\frac{y^2}{2}} e substituindo sistema, obtemos:
\begin{cases}
3^x - 2^{(y^2)} = 77 \\
3^{\frac{x}{2}} - 2^{(\frac{y^2}{2})} = 7
\end{cases} \\
\enspace \\
\begin{cases}
3^x - 2^{(y^2)} = 77 \Rightarrow (3^{\frac{x}{2}})^2 - (2^{\frac{y^2}{2}})^2 = 77 \\
3^{\frac{x}{2}} - 2^{(\frac{y^2}{2})} = 7
\end{cases} \\
\enspace \\
\begin{cases}
a^2 - b^2 = 77 \\
a - b = 7 \Rightarrow a = 7 + b
\end{cases} \\Substituindo o valor de a , na primeira equação do sistema, pelo valor de a dado pela segunda equação, temos:
a^2 - b^2 = 77 \\ (7 + b)^2 - b^2 = 77 \\ 7^2 + 14b + b^2 - b^2 = 77 \\ 7^2 + 14b = 77 \Rightarrow 2b = 11 - 7 \\ \therefore b = 2
Sabendo que b = 2^{\frac{y^2}{2}} , obtemos:
b = 2^{\frac{y^2}{2}} \\
2 = 2^1 = 2^{\frac{y^2}{2}} \\
\frac{y^2}{2} = 1 \\
\enspace \\
y_1 = \sqrt{2} \\
y_2 = - \sqrt{2}Sabendo que 3^x - 2^{(y^2)} = 77 , obtemos para y_1 :
3^{x_1} - 2^{(y_1^2)} = 77 \\
3^{x_1} - 2^{(\sqrt{2}^2)} = 77 \\
3^{x_1} - 2^2 = 77 \Rightarrow 3^{x_1} = 77 + 4 = 81 = 3^4 \therefore x_1 = 4\\E para y_2 obtemos:
3^{x_2} - 2^{(y_2^2)} = 77 \\
3^{x_2} - 2^{((-\sqrt{2})^2)} = 77 \\
3^{x_2} - 2^2 = 77 \Rightarrow 3^{x_2} = 77 + 4 = 81 = 3^4 \therefore x_2 = 4\\As soluções são então:
x_1 = 4 \text{ e } y_1 = \sqrt{2} \\
x_2 = 4 \text{ e } y_2 = -\sqrt{2}Dificuldade: 2,25
Entendimento: 1,5
Conceitos: 2,0
Iniciativa: 3,0
Cálculos: 2,5
Conceitos: 2,0
Iniciativa: 3,0
Cálculos: 2,5