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Enunciado
Resolva a equação \log_3 (4^x + 15 \cdot 2^x + 27) = 2 \cdot \log_3 (2^{x+2} - 3) .
Entendimento
Como a equação apresenta logaritmos na mesma base, 3 , nos dois lados da igualdade, o caminho para a solução é trabalhar algebricamente a expressão dada para chegarmos em algo do tipo:
\log_a f(x) = \log_a g(x) \Rightarrow f(x) = g(x) \gt 0 \text{, se } 0 \lt a \ne 1.Resolução
Partindo da expressão original, temos:
\log_3 (4^x + 15 \cdot 2^x + 27) = 2 \cdot \log_3 (2^{x+2} - 3) \\
\enspace \\
\log_3 ((2^x)^2 + 15 \cdot 2^x + 27) = \log_3 (2^{x+2} - 3)^2 \\
\enspace \\
\log_3 ((2^x)^2 + 15 \cdot 2^x + 27) = \log_3 (4 \cdot 2^x - 3)^2 \\
\enspace \\
\log_3 ((2^x)^2 + 15 \cdot 2^x + 27) = \log_3 ((4 \cdot 2^x)^2 - 2 \cdot (4 \cdot2^x) \cdot 3 + 3^2) \\
\enspace \\
\log_3 ((2^x)^2 + 15 \cdot 2^x + 27) = \log_3 (16 \cdot (2^x)^2 - 24 \cdot 2^x + 9) \\
\enspace \\
(2^x)^2 + 15 \cdot 2^x + 27 = 16 \cdot (2^x)^2 - 24 \cdot 2^x + 9 \gt 0 \\
\enspace \\
0 = 15 \cdot (2^x)^2 - 39 \cdot 2^x - 18 \\
\enspace \\
0 = 5 \cdot (2^x)^2 - 13 \cdot 2^x - 6Fazendo y = 2^x , podemos resolver a equação de segundo grau: 5 \cdot y^2 - 13 \cdot y - 6 = 0 :
\Delta = (-13)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 289 \\
\enspace \\
y_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{289}}{2 \cdot 5} = \frac{13 + 17}{10} = \frac{30}{10} = 3 \\
\enspace \\
y_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{289}}{2 \cdot 5} = \frac{13 - 17}{10} = \frac{-4}{10} = -0,4Mas y_2 = -0,4 , não convém como solução de 2^x . Prosseguindo apenas com y_1 = 3 , temos:
y_1 = 3 = 2^x \Rightarrow x = \log_2 3
É importante verificar se x = \log_2 3 assegura que (2^x)^2 + 15 \cdot 2^x + 27 = 16 \cdot (2^x)^2 - 24 \cdot 2^x + 9 \gt 0 . Assim, fazendo a substituição com o valor de x obtido, temos:
16 \cdot (2^x)^2 - 24 \cdot 2^x + 9 = 16 \cdot (2^{\log_2 3})^2 - 24 \cdot 2^{\log_2 3} + 9 \\
\enspace \\
= 16 \cdot 3^2 - 24 \cdot 3 + 9 = 81 \gt 0Portanto, x = \log_2 3 é a solução.
Dificuldade: 3,00
Entendimento: 2,5
Conceitos: 3,0
Iniciativa: 3,0
Cálculos: 3,5
Conceitos: 3,0
Iniciativa: 3,0
Cálculos: 3,5