FME02 – Cap 02 – Ex. 86

Enunciado

Determine o número de soluções distintas da equação 2^x - 2^{-x} = k , para k real.

Entendimento

Questão muito interessante. O examinador pergunta o número de soluções que a equação tem para k real.

Na prática, ele quer saber, considerando os vários possíveis valores de k , quantas soluções a equação tem; por exemplo, se com k negativo tem uma, mais de uma ou nenhuma solução etc. À medida que k varia como isso impacta o número de soluções que a equação tem?

A estratégia de resolução é simplificar a expressão algébrica e ver como a variação de k impacta no número de soluções que a equação tem. A experiência diz que a expressão vai resultar numa equação de segundo grau e teremos que estudar o sinal de \Delta e ver as possíveis soluções.

Resolução

Primeiramente vamos trabalhar algebricamente a equação no sentido de simplificá-la:

2^x - 2^{-x} = k \\
2^x - \frac{1}{2^x} = k \Rightarrow \frac{2^x \cdot 2^x - 1}{2^x} = k \\
\enspace \\
(2^x)^2 - k2^x - 1 =0

Substituindo 2^x por y , temos:

y^2 - ky - 1 =0

Calculando o valor de \Delta , temos:

\Delta = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) \\
\Delta = k^2 + 4

Avaliando \Delta = k^2 + 4 , vemos que \Delta nunca será negativo em \mathbb{R} . Portanto a equação tem potencialmente duas soluções:

y_1 = \frac{-(-k) + \sqrt{k^2 + 4}}{2 \cdot 1} = \frac{k + \sqrt{k^2 + 4}}{2} = 2^x \\
\enspace \\
y_2 = \frac{-(-k) - \sqrt{k^2 + 4}}{2 \cdot 1} = \frac{k - \sqrt{k^2 + 4}}{2} = 2^x \\

Mas y_2 < 0 , não importa o valor de k , pois \sqrt{k^2 + 4} > k , para k \in \mathbb{R} . Como, 2^x não pode ser menor que zero, y_2 não convém como solução.

Resta apenas a solução y_1 .

Podemos então dizer que a equação terá apenas uma única solução, para todo k \in \mathbb{R} e será:

 2^x = \frac{k - \sqrt{k^2 + 4}}{2}

Lindo exercício. Isso é Matemática. Por curiosidade, segue o gráfico da função f(k) = \dfrac{k - \sqrt{k^2 + 4}}{2} , observe que se trata de uma função positiva qualquer que seja k \in \mathbb{R} .