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(IFAL) O número N = \frac{1}{\sqrt{32 + 10\sqrt{7}}} + \frac{1}{\sqrt{32 - 10\sqrt{7}}} é um decimal ilimitado periódico. Se N for escrito sob a forma da fração irredutível \dfrac{a}{b} então a + b é igual a:
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
Resolução
Questão simples, mas que exige cuidado para não errar com os sinais, de resto, é só não ter preguiça e fazer contas.
N = \frac{1}{\sqrt{32 + 10\sqrt{7}}} + \frac{1}{\sqrt{32 - 10\sqrt{7}}} = \frac{\sqrt{32 - 10\sqrt{7}} + \sqrt{32 + 10\sqrt{7}}} {(\sqrt{32 + 10\sqrt{7}}) \cdot (\sqrt{32 - 10\sqrt{7}})} == \frac{\sqrt{32 - 10\sqrt{7}} + \sqrt{32 + 10\sqrt{7}}} {\sqrt{(32 + 10\sqrt{7}) \cdot (32 - 10\sqrt{7})}} = \frac{\sqrt{32 - 10\sqrt{7}} + \sqrt{32 + 10\sqrt{7}}} {\sqrt{32^2 - (10\sqrt{7})^2}} == \frac{\sqrt{32 - 10\sqrt{7}} + \sqrt{32 + 10\sqrt{7}}} {\sqrt{(2^5)^{2} - (100 \cdot 7)}} = \frac{\sqrt{32 - 10\sqrt{7}} + \sqrt{32 + 10\sqrt{7}}} {\sqrt{1024 - 700}} \RightarrowN = \frac{\sqrt{32 - 10\sqrt{7}} + \sqrt{32 + 10\sqrt{7}}} {\sqrt{324}}Elevando ao quadrado os dois lados da igualdade anterior, obtemos:
N^2 = \frac{\left ( \sqrt{32 - 10\sqrt{7}} + \sqrt{32 + 10\sqrt{7}} \right )^2} {324}N^2 = \frac{32 - 10\sqrt{7} + 2 \cdot \left ( \sqrt{32 - 10\sqrt{7}} \right ) \left ( \sqrt{32 + 10\sqrt{7}} \right )+ 32 + 10\sqrt{7}} {324}N^2 = \frac{64 + 2 \cdot \sqrt{\left ( 32 - 10 \sqrt{7} \right ) \left ( 32 + 10 \sqrt{7} \right )}} {324} = \frac{64 + 2 \cdot \sqrt{32^2 - \left ( 10 \sqrt{7} \right )^2}} {324} \RightarrowN^2 = \frac{64 + 2 \cdot \sqrt{324}} {324} = \frac{64 + 2 \cdot 18} {324} = \frac{100} {324} \RightarrowN = \sqrt{\frac{100} {324}} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} = \frac{a}{b}Portanto \boxed{a + b = 14} e alternativa correta é a letra D.
1,25
Nível